方向导数计算器

选择坐标的类型，并在各自的字段中输入所有必需的参数。计算器将立即计算输入的函数的方向导数。

在线方向导数计算器确定函数在向量的给定点的方向导数和梯度。此外，这个免费的计算器还向您展示了特定点的分步计算。

现在，让我们看看如何使用公式和示例找到方向导数。

什么是方向导数？

在数学中，在给定向量 v 在给定点 x 处的多维微分函数方向上推导是直观的。它是函数以 v 确定的速度在 x 中移动的瞬时变化率。因此，偏导数的广义概念，其中变化率与曲线坐标曲线之一一起获得。而所有其他坐标保持不变。

（图片仅供参考）

方向导数公式：

设 f 为一条曲线，其在某个选定点的切向量为 v。方向导数计算器找到 p 的函数 f 可以用以下任何一种表示：

$\ ∇_pf（x）$
$\ f'_p（x）$
$\ D_pf（x）$
$\ Df（x）（p）$
$\∇f（x）$

因此，标量函数的方向导数为：

$\ f（x） =\ f（x_1， x_2， ....， x_{n-1}， x_n）$ 与向量 $\ v = （v_1， v_2， ...， v_n）$ 是函数 $\ ∇_vf$ ，计算公式为

$\ ∇_vf（x） = lim f（x + hv） – f（x）/ h$

这是方向导数计算器用来查找给定函数的导数的公式。

梯度：

梯度∇f是指向最大上升斜率方向的向量，其长度是该方向的方向导数，方向导数是梯度与单位向量之间的点积：

$\ M_uf = ∇f⋅u$

方向导数示例：

如果 $\ z=14−x^2−y^2$ ，设 M=（3,4）。在 M 处找到 f 在以下方向的方向导数：

朝向点 N=（5,6），
在 ⟨2，−1⟩ 的方向上，以及
向原点迈进。

答：

点 M=（3,4）表示在 x，y 平面上，点（3,4,9）位于 “f” 的表面上。我们通过使用方向导数公式发现

fx（x，y）=−2x 和 fx（3,4）=−2，

f_y（x，y）=−2y和f_y（1,2）=−4

让 $\vec u_1$ 1 是从点（3,4）指向点 Q=（3,4）的单位向量。向量 $\vec PQ=（2,2）$ 这个方向的向量是 $\vec u_1=（\frac{1}{\sqrt{2}}）$ 。

因此，f在（3,4）处的方向导数沿

$\vec u_1\ is\ \vec Du_1\ f（1,2）=−2（\frac{1}{sqrt{2}}）+（−4）（\frac{1}{\sqrt{2}}）=\frac{−6}{\sqrt{2}}≈−4.24$ 。

物体的变化率从表面上的点（3,4,9）沿以下方向移动 $\mathbf{u}_1$ （指向点 Q）约为 −4.24。